健保保険と厚生年金には、被保険者の住所変更届があり、変更後は日本年金機構に届出る必要があります。
これに対して雇用保険は届出る必要がありません。
健康保険と厚生年金で、被保険者の住所変更届をするのは、年金のお知らせなどが届くからです。
これに対して、雇用保険には、そもそも被保険者資格取得時にも住所を記載する欄がなく、雇用保険で必要な住所は事業主のみとなっています。
同一都道府県内で住所変更をする場合は、健康保険の住所変更手続きが終わると、被保険者自身で保険証の裏の住所欄を書き換えます。
住所欄の下にある備考欄を使用してもかまいませんので、手書きで修正します。